第一章 · 行列式：琉克的苹果

夜神月是在四月的一个雨天里，第一次见到”行列式”的。

那本黑色封皮的笔记本从天而降的时候，他刚结束东应大学的入学典礼。作为东京都内模拟考连续四次第一名的优等生，他本可以走进任何一所顶尖高校的法学院，但他选择了东应大学——因为这里离警视厅最近，离父亲的工作地点最近，离他想要”观察”的那个系统最近。

雨滴打在宿舍窗台上，溅起细碎的水花。月翻开笔记本的第一页，纸张的触感让他皱眉——既不是普通的打印纸，也不是他熟悉的那种考试用纸，而是一种介于羊皮和塑料之间的材质，带着若有若无的温度。

“你好啊，夜神月。”

声音从头顶传来。

月抬起头。一个瘦得离谱的人形生物正倒悬在天花板上，皮肤是灰紫色的，眼眶里没有眼白，只有两颗浑浊的黄色球体。它的嘴角咧到耳根，露出一排不整齐的牙齿，右手里捏着一颗——苹果。

“你——”

“琉克。“那东西从天花板上落下来，轻得像一片枯叶，“死神。这本笔记是我的，现在归你了。但有一个条件——”

它把苹果递到月面前。

月本能地后退了一步，但苹果上刻着的东西让他停住了。那不是普通的果皮纹路，而是用某种发光的黑色墨水写上去的一排符号：

“这是什么？“月问。

“行列式。“琉克把苹果往嘴里塞了一口，嘎吱作响，“二阶的。想用这本笔记，先算出这个数的值。算错了的话……”

它没有说后果。但月看见琉克另一只手里的镰刀，刀锋上还挂着一滴未干的血。

月坐回书桌前，把那颗被咬了一口的苹果放在台灯底下。他从来没有见过”行列式”这种东西。东应大学的入学考试只考到高中的微积分初步，而眼前这个由四条线段和四个数字组成的方阵，像是某个他从未踏足的数学领域的入门暗号。

他拿起笔，在草稿纸上把那个符号抄了一遍：

“别发呆啊。“琉克蹲在窗台上，把苹果核随手扔到楼下——月听见楼下传来一声短促的惊叫，然后是一连串标准的日式道歉。“算不出来就还给我。”

”……怎么算？”

琉克竖起一根枯瘦的手指：“二阶行列式，对角线法则。从左上到右下的乘积，减去从右上到左下的乘积。”

月愣了一下。然后他低头看着那个符号——左上角是3，右下角是5，右上角是4，左下角是2。

“所以是……3乘5，减去4乘2？”

“对。”

“15减8，“月写下等号，“7。”

琉克咧开嘴，露出一个令人毛骨悚然的笑容：“正确。笔记归你了。”

但月没有立刻翻页。他盯着草稿纸上那个算式，心里浮现出一个疑问——为什么？

为什么是”左上乘右下减去右上乘左下”？这个法则从何而来？如果改变四个数字的位置，结果会怎么变？如果把二阶变成三阶呢？

他翻开笔记本的第二页，果然，在死亡笔记的使用规则下方，有一行极小极小的字：

“凡使用者，须知行列式之理。三阶以上，法则不同。”

“三阶？“月抬头问琉克，“三阶行列式怎么算？”

琉克从怀里又掏出一个苹果——月怀疑它到底藏了多少个——这个苹果上刻着一个三行三列的数字方阵：

“三阶行列式的对角线法则，“琉克靠在窗框上，“你想象一下——把第一列和第二列复制到矩阵右边。然后从左上到右下有三条斜线，乘起来加在一起。再从右上到左下有三条斜线，乘起来减掉。”

月照做了。他在草稿纸上写下：

然后计算：

• 正对角线三条：1×5×9 = 45，2×6×7 = 84，3×4×8 = 96，总和 = 225
• 负对角线三条：3×5×7 = 105，1×6×8 = 48，2×4×9 = 72，总和 = 225
• 225 - 225 = 0

“等于零。“月说。

“对啊，因为第二行是4、5、6，是第一行1、2、3的两倍，而第三行又是第一行的三倍——“琉克把那个苹果也咬了一口，“你注意到没有，行列式里如果有两行成比例，整个行列式就是零。”

月把这个结论记在心里。他隐约觉得，这个叫作”行列式”的东西背后，有一套完整的规则体系。就像他从小到大研究过的每一套规则——考试规则、法律规则、社会规则——只要理解了底层逻辑，就能找到操作的空间。

“琉克，“月放下笔，“行列式除了’对角线法则’，还有别的性质吗？”

琉克把苹果叼在嘴里，腾出手翻了个白眼：“你这个人真奇怪。一般人类捡到死亡笔记，第一反应是’我要写谁的名字’，你倒好——”

“我在为’写谁的名字’做战略准备。“月平静地说。

琉克盯着他看了三秒。然后它笑了——那种笑容让月的脊背生出一阵凉意。

“行。那我再多说一点。听好了，夜神月——”

琉克说的”多一点”，比月预想的多很多。

在接下来的四十分钟里，琉克像某个吊儿郎当但脑子异常清醒的补习老师一样，把行列式的基本性质一条一条地扔给月。月一边听一边写笔记——不是死亡笔记，而是一本普通的大学笔记本——他惊人的速记能力在这一刻发挥了作用。

性质一：互换两行（或两列），行列式变号。

“意思就是，“琉克说，“如果你把第一行和第二行换个位置，值就从7变成-7。反过来也一样。”

月验证了一下。他把最初那个二阶行列式的第一行和第二行互换：

果然是-7。他想起琉克刚才说的”两行成比例行列式为零”——如果互换两行后行列式变号，但两行又完全一样的话，就既等于原值又等于负原值，那只能等于零。逻辑是自洽的。

性质二：某一行（或列）乘以一个数k，行列式的值也乘以k。

“比如你把第一行都乘以2，整个行列式的值就翻倍。”

月验证：

原来的值是7，乘以2之后确实等于14。

性质三：某一行（或列）的k倍加到另一行上，行列式的值不变。

“这是最关键的。“琉克强调，“这个性质让你可以把行列式化简成上三角形式。”

“上三角？“月问。

“就是对角线以下全是零的那种。“琉克吐出一个苹果籽，“上三角行列式的值，等于对角线上的数字全部乘起来。”

月试了一个例子。他把刚才那个3×3的行列式——

用”性质三”开始消元：第二行减去4倍第一行，第三行减去7倍第一行。

然后第三行减去2倍第二行：

对角线乘积：1 × (-3) × 0 = 0。和之前的答案一致。

“懂了。“月说。他抬起头，眼睛里有一种琉克在许多人类脸上见过的东西——不是恐惧，不是兴奋，而是单纯的、极度的好奇。“还有吗？”

琉克把最后一个苹果核扔出窗外。楼下又传来一声惊呼。

“还有拉普拉斯展开。“琉克说，“不过那个就留给你自己悟了。我困了。”

它打了个哈欠，嘴巴张开的程度让月怀疑它能把自己的头吞进去。然后琉克像一团被风吹散的烟雾一样，消失在窗台上。

月坐在原地，手里握着死亡笔记，面前摊着刚刚写满三页的数学笔记。他有一种奇怪的感觉——琉克不像是来给他一本杀人工具的，更像是来给他一把钥匙的。一把通往某个全新世界的钥匙。

他用十分钟把琉克讲的三条性质复习了一遍，并在笔记的边角写下自己的思考：

“互换变号——本质上是对称性的破坏。” “倍乘——线性缩放，行列式是’体积’的度量。” “倍加不变——这是最强大的工具。任何复杂的行列式，都可以通过’行变换’化成简单的上三角。”

他合上笔记本，翻开死亡笔记的正文。规则第一条写着：

“名字被写在这本笔记上的人，将死去。”

月的嘴角微微上扬。

“在此之前，“他轻声说，“我得先学会怎么解读对手的’行列式’。”

与此同时，在东京某处的一栋灰色建筑里——国际刑警组织日本支局的秘密会议室——L正对着投影在白墙上的一组数据发呆。

他的坐姿很糟糕：整个人蜷缩在办公椅里，膝盖顶到胸口，光着的脚踩在椅面上，左手捏着一块方糖，右手在笔记本上涂涂画画。会议桌周围坐着十几个来自不同国家的调查员，没有人说话，空气中只有投影仪风扇的嗡嗡声。

“L，“坐在他旁边的渡说，“这是基拉第一次出现的所有相关数据。我们分析了每一个已知死亡案例的时间、地点、死者身份。”

“嗯。“L把方糖丢进嘴里，嘎嘣嘎嘣地嚼碎，“趋势很明显。基拉在测试。”

“测试？”

“测试规则的边界。“L用手指在笔记本上画了一个框，“第一个死者是关东地区的暴力团伙头目。第二个是东京都内的诈骗惯犯。第三个是大阪的——”

“L，这些我们已经知道了。“一个调查员打断他，“我们想知道的是，为什么你要求我们提取所有死者’名字的笔画数’和’死亡时间与出生日期的差值’这两组数据？”

L转过脸来，他的黑眼圈深得像画上去的。他把笔记本转向众人，上面画着一个奇怪的图案：

“因为我收到了这个。“L说。

会议室里一片寂静。

”……谁寄来的？“渡问。

“不知道。寄件地址不存在，邮戳是今天的，但今天全国邮局已经停运了。而且——“L把那张实物信封从笔记本下面抽出来，用手指弹了弹，“这封信是手写的。笔迹分析显示，写信的人用了左手，而且是刻意改变了书写习惯。”

“所以这是一个陷阱？”

“可能。“L说，“但更可能——“他把那个二阶行列式重新抄到白板上，然后在旁边写下”7”，“——这是一个邀请。”

”……邀请？”

“算出这个数的人，才能看到信的正文。“L把信封翻过来，背面用极细的铅笔写着一行字：“你看到了吗？”

会议室里有人倒吸一口凉气。

“这说明什么？“渡问。

L沉默了五秒钟。然后他站起来——准确地说是从椅子上滑下来——走到白板前，用红色记号笔在那个二阶行列式外面画了一个圈。

“说明基拉具备高等数学素养。“L说，“二阶行列式的对角线法则是日本大学一年级的线性代数课程内容。但关键是——”

他顿了顿。

“这个行列式的结构选得很有深意。3、4、2、5——这四个数加起来是14。而今天，4月14日。”

“所以基拉是在告诉我们他的作案时间？“一个调查员急切地问。

“不。“L摇摇头，“他在告诉我们——我们面对的不是普通的连环杀手。这是一个受过严格逻辑训练、对抽象结构有高度敏感度的人。这种人——”

L转过身来，黑色眼瞳里映出投影仪的光。

“——不会只杀一两个就停下来。他会把整个社会当作一道待解的方程。”

会议室里的气氛骤然凝重。渡清了清嗓子：“接下来怎么做？”

L没有回答。他重新坐回椅子上，把两腿蜷缩起来，下巴搁在膝盖上，眼睛盯着那个二阶行列式。

“行列式……”L自言自语，“如果把基拉的行为模式看成一组行向量，我们能不能算出他的’秩’？能不能找到他的’极大无关组’？”

渡听不懂。但L已经拿起了他的专用手机，拨出了一个加密号码。

“帮我查一下。“L对着电话说，“东应大学、京都大学、东京工业大学——今年所有入学新生里，数学成绩排在前百分之一的学生名单。特别关注那些……参加过数学竞赛或对抽象代数表现出异常兴趣的人。”

他挂断电话，重新看向那个行列式。

“L，“渡说，“你觉得基拉会是什么人？”

L咬碎了第二块方糖。“一个对’正义’这个词有自己定义的人。一个认为’世界的方程需要重新求解’的人。“他把方糖包装纸折成一个极小的正方形，“而且——如果我的直觉没错——他大概刚拿到那把能改写方程的解的笔。”

夜神月打了个喷嚏。

他揉了揉鼻子，把死亡笔记塞进书包底层。窗外雨已经停了，东京的夜空被霓虹灯染成浅橙色。琉克不知什么时候又出现在天花板上，倒挂着，像一只巨大的蝙蝠。

“你刚才在想什么？“琉克问。

“我在想，“月说，“如果我是一个追查基拉的侦探，我会用什么方法找到他？”

“哦？”

“我会从’数学素养’入手。“月说，“因为使用这本笔记需要理解行列式——而全世界具备这种知识的人，在总人口中占比极小。如果再结合作案区域、死亡时间的规律……”

他顿了一下。

“范围会缩得很小。”

琉克发出一阵低沉的、像砂纸摩擦木头的声音——月花了三秒钟才意识到那是它在笑。

“那你打算怎么办？”

“很简单。“月把台灯关掉，黑暗中他的侧脸被窗外的霓虹勾出一道轮廓，“让自己变得不可预测。让我的行为模式在统计上表现为’随机’。让任何一个试图用行列式解析我的人——”

“——得到一个不满秩的矩阵。“琉克替他说完，语气里带着一种近乎赞赏的意味。

月没有回答。他躺到床上，闭上眼睛。脑海里排列着今天学到的所有知识：对角线法则、互换变号、倍乘、倍加不变、上三角行列式……

以及那个二阶行列式。3、4、2、5。值等于7。

他忽然想到一件事。

“琉克，“他在黑暗中开口，“如果把那个二阶行列式的第一列和第二列互换，值会变成-7，对吧？”

“对。”

“那如果有一个人算出的是-7，“月说，“他就会得出完全相反的结论——对吧？”

琉克没有回答。月听见它咬碎什么东西的声音——大概是不知道从哪里摸出来的第五个苹果。

“你的意思是，“琉克终于说，“同样的数据，可以解读出两种完全不同的答案？”

“取决于你怎么排列那些数字。“月睁开眼睛，看着天花板上那个模糊的影子，“就像同一组事实，可以拼出’正义’的故事，也可以拼出’恐怖’的故事。”

琉克的笑声在房间里回荡了很久。

“夜神月，“它在消失之前说，“你是我见过的最有趣的人类。”

月没有回应。他已经在心里开始推导三阶行列式的一般展开式了——他还不满足于”对角线法则”这一个工具。琉克说的”拉普拉斯展开”到底是什么？如果每一行都能独立地展开，那是不是意味着他可以按照”最有利的方式”去展开一个复杂的行列式？

就像他处理这个世界的规则一样。

窗外的霓虹灯在他脸上投下一明一暗的光斑。那个叫作L的人——如果真如月所推测的那样，是一个同样具备高等数学素养的对手——现在应该已经算出了那个行列式的值。

7。

月闭上眼睛，嘴角弯起一个极小的弧度。

“来吧，“他轻声说，“让我看看你的’秩’。”

📖 琉克的数学笔记（第一章）

人话版定理汇总：

1. 二阶行列式的对角线法则

   $$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

   说白了就是：左上×右下 − 右上×左下。像打叉一样。

2. 三阶行列式的对角线法则 把第一列和第二列复制到右边，然后三条”正斜线”乘积相加，减去三条”反斜线”乘积相加。

3. 行列式三大基本性质

   • 互换变号：两行互换，值变负。
   • 倍乘：某行乘以k，整个值乘以k。
   • 倍加不变：某行的k倍加到另一行，值不变（这是最常用的化简工具）。

4. 上三角行列式 对角线以下全是零的行列式，值等于对角线数字相乘。

5. 拉普拉斯展开（预告） 按某一行（或列）展开，用该行的每个元素乘以它对应的代数余子式，求和。具体方法下一章细讲。

易错点提醒：

• ⚠️ 二阶行列式是”左上×右下 − 右上×左下”，不是”对角线相加”。
• ⚠️ 三阶对角线法则只适用于三阶，四阶以上必须用拉普拉斯展开。
• ⚠️ “倍加不变”的前提是把某一行的倍数加到另一行，不是把两行互换。

小试牛刀（考研真题变式）：

计算三阶行列式：

提示：试试用”倍加不变”先把第一行以外的行减去第一行，化成上三角。

（答案见附录末尾）

下章预告

月破解了二阶行列式，但L已经锁定了”高等数学素养”这个关键词。与此同时，月发现死亡笔记的规则远比他想象的复杂——如果说每一次制裁是一个”变换”，那么这些变换之间的组合关系，可以用一种叫”矩阵”的东西来描述。

琉克又扔过来一个苹果。

这一次，上面刻着三个大字：

“求逆阵。”

【第一章完】